Задача 3

Кольцевая модель как начальное приближение

Полуаналитическая модель Назмитдинова и соавторов (Phys. Rev. E 91, 032312, 2015; 95, 042603, 2017) описывает конфигурацию концентрическими кольцами зарядов. Вопрос со встречи: годится ли она как стартовая точка для поиска при произвольном N, или работает только при малых N? Проверили один раз, систематически.

Модель

N зарядов разбиваются по кольцам: n₁ на границе (r = 1), n₂, n₃, … внутри, иногда один заряд в центре. Энергия усредняется по взаимным поворотам колец и выражается через полный эллиптический интеграл K:

E = Σ_k n_kS_{n_k}/(4r_k) + (2/π) Σ_k<l n_kn_l K((r_l/r_k)²)/r_k, S_n = Σ_m=1ⁿ⁻¹ 1/sin(πm/n).

Радиусы находим минимизацией, разбиение — перебором соседних разбиений. Наша реализация воспроизводит все 12 опубликованных разбиений и энергий модели (N = 11…395).

Насколько модель близка к настоящим основным состояниям

Для каждого N от 12 до 330 (и для N = 350…1000) нашли разбиение модели и сравнили его с конфигурацией Amore–Zarate: число зарядов на границе и во втором кольце (его определяем по первому заметному разрыву в радиусах), а также энергию.

299 из 319N: модель сама угадывает число зарядов на границе N_b

259 из 301N: точно угадано второе кольцо; с точностью ±1 — 301 из 301

0,0024 %медианная ошибка энергии модели (при N = 300 это 1,2 единицы)

Ошибка энергии кольцевой модели и точность числа зарядов в первых двух кольцах — **Рис. 1.** Сверху — насколько энергия модели выше энергии основного состояния. Снизу — разница числа зарядов в первом (граница) и втором кольце между моделью и реальной конфигурацией; почти все точки на нуле. Для больших N модель тоже даёт верное N_b (модель/факт): 350 (135/135), 381 (143/143), 395 (147/147), 400 (148/148), 500 (173/173), 1000 (277/277).

Ошибка энергии в тысячные доли процента — это порядка единицы энергии, больше расстояния между соседними минимумами (сотые–десятые). Поэтому модель не заменяет оптимизацию. Но два внешних кольца она предсказывает почти всегда верно, причём не только при малых N.

Модель как старт для молекулярной динамики

Сравнили четыре старта для одного и того же спуска — QMD по протоколу Лаврова–Никонова (задача 2): случайный; два внешних кольца модели с равномерными зарядами и случайная середина; три внешних кольца; все кольца модели. В каждом кольце фаза случайная, к положениям добавлен малый шум (0,02 шага). N = 20…330 через 5 и N = 395, по 20 запусков на старт.

Табл. 1. Доля запусков, нашедших рекорд Amore–Zarate
Старт	N = 20–100	105–200	205–270	275–330
случайный (как у Лаврова–Никонова)	18 %	8 %	6 %	1 %
2 внешних кольца модели + случайная середина	88 %	28 %	10 %	1 %
3 внешних кольца + случайная середина	94 %	49 %	21 %	1 %
все кольца модели	94 %	51 %	52 %	0 %

Доля успешных запусков QMD в зависимости от стартовой конфигурации — **Рис. 2.** Доля запусков QMD, нашедших рекорд, для разных стартов (сглажено по трём соседним N). Старт из кольцевой модели в разы надёжнее случайного вплоть до N ≈ 270; дальше все старты почти безуспешны.

Две особенности. Первая: старт «все кольца» работает по принципу «всё или ничего» — для 61 из 64 значений N либо почти все 20 запусков находят рекорд, либо почти ни один. Модель либо попадает в воронку нужного минимума, либо уверенно ведёт в соседний. Вторая: последний N с успехом — 265; при больших N середина основного состояния уже не кольца, а треугольная решётка со «шрамами» (см. атлас), и кольцевая середина только мешает. Число граничных зарядов при кольцевом старте не «уплывает» ни разу (при случайном — в 57 % запусков). Энергий ниже рекорда не найдено.

Попытка продолжить модель на большие N

Раз модель хорошо угадывает внешние кольца, а середина при больших N — решётка, проверили комбинированный старт: N_b и одно-два внутренних кольца из модели, а внутри — треугольная решётка нужной плотности со случайным поворотом. При N = 275…330, где чистые кольца не дают ни одного успеха, такой старт (два кольца + решётка) нашёл рекорд в 10 из 240 запусков — 4,2 % против 1,2 % у случайного старта. Это втрое лучше, но в абсолютных числах мало: при таких N поиск всё равно лучше вести basin hopping или D&C, а модель использовать для выбора N_b.

Выводы

Кольцевая модель почти всегда верно предсказывает два внешних кольца — число зарядов на границе и во втором кольце — при любых N до 1000. Её энергия грубее (на ~0,002 %), чем нужно для различения минимумов.
Как начальное приближение для молекулярной динамики модель работает до N ≈ 270: доля успешных запусков растёт с 6–18 % до 50–94 %, а ожидаемое время до рекорда падает в 5–10 раз.
Выше N ≈ 270 кольцевой старт бесполезен: середина основного состояния — решётка с дефектами, а не кольца. Старт «внешние кольца модели + решётка» при N = 275–330 втрое лучше случайного, но успешен лишь в 4 % запусков. Для больших N модель полезна прежде всего как предсказание N_b.