Методы

Как устроены расчёты

Единичный круг, N одинаковых зарядов, энергия E = Σ_i<j 1/|r_i − r_j|. Ищется расстановка с наименьшей E. Все методы написаны заново (C + Python) и считались на двух Mac mini M4 (по 10 ядер).

Общая часть

Граничная эвристика Amore–Zarate

Часть зарядов, N_b, лежит точно на окружности (у минимума их ≈2,8 N^2/3). Число N_b фиксируется заранее по формуле Amore–Zarate N_b ≈ 2,84328 N^2/3 − 0,530196 N^1/3 − 2,32866. Внутренние заряды во время поиска удерживаются в круге радиуса σ = 1 − 1/(2√N), чтобы они не «прилипали» к границе и N_b не менялось. В конце ограничение снимается (σ = 1) и делается полная релаксация.

Локальный спуск

Метод	Где используется	Как устроен
TN (усечённый Ньютон)	алгоритм Amore–Zarate	SciPy TNC в переменных статьи: r = σ sin²t, граничные — угол
FIRE 2.0	наши варианты, D&C	затухающая динамика с адаптивным шагом (Guénolé и др., 2020), декартовы координаты с проекцией на ограничения
QMD	MD Лаврова–Никонова	mr̈ = F − bṙ, Верле с неявным трением, Δt = 0,001, b = 0,9, 150 000 шагов, σ растёт до 1
L-BFGS	доводка больших N	угол для граничных, (x, y) для внутренних
Ньютон	доводка и проверка N ≤ 700	полный гессиан, остаточная сила ~10⁻¹¹, спектр — проверка минимума
Ньютон–CG	доводка больших N	произведение гессиана на вектор разностью градиентов, шаг по прямому сравнению энергий

Глобальный поиск

Basin hopping (BH)

Шаг: в случайном месте (центр выбирается по плотности зарядов ρ ∝ 1/√(1−r²)) толкаем заряды в круге радиусом 3 межчастичных расстояния (гауссов толчок 0,5 расстояния), затем спускаем все заряды и принимаем новое состояние по Метрополису с T = 0,01.

Divide & conquer (D&C) Amore–Zarate

Выбирается подкруг (центр по плотности), заряды вне него заморожены, внутри — толчок и спуск; новое состояние принимается, если уменьшилась энергия E_{внутр-внутр} + E_{внутр-внеш}. Если какой-то заряд сместился больше порога, следующий подкруг ставится на него («погоня» за дефектом). Радиус подкруга растёт от 0,1 до ~1.

Гибрид «бассейн → MD → Метрополис»

Как BH, но вместо толчка координат заряды выбранного «бассейна» получают тепловые скорости (T_толчка = 0,02), дальше идёт затухающая молекулярная динамика всех зарядов (шаг Δt = 10⁻³, трение ≈1) и финальный спуск FIRE; новое состояние принимается по Метрополису.

Кольцевая модель

Конфигурация задаётся разбиением N по концентрическим кольцам (n₁ = N_b, n₂, …) с радиусами r_k. Энергия усредняется по фазам колец: E = Σ n_kS_{n_k}/(4r_k) + (2/π)Σ_k<l n_kn_lK((r_l/r_k)²)/r_k, где S_n = Σ_m=1ⁿ⁻¹1/sin(πm/n), K — полный эллиптический интеграл. Радиусы находятся минимизацией, разбиение — перебором соседних разбиений (перенос заряда между кольцами, центральный заряд).

Улучшение рекордов при больших N

Стартуем с опубликованной конфигурации. (1) «Пересадка» заряда (как у Amore для сферической шапки): самый внешний внутренний заряд ставится на окружность (N_b + 1) или граничный заряд из самого тесного места уводится внутрь (N_b − 1), затем локальная релаксация при σ < 1. (2) D&C с крупными подкругами (радиус циклически от 0,04–0,15 до 0,15–0,6 в зависимости от N), FIRE внутри, многопоточное ядро. (3) Сравнение только после одинаково глубокой доводки обеих конфигураций методом Ньютона–CG: до тех пор, пока прогнозируемый выигрыш следующего шага не станет меньше 10⁻⁵. (4) При N ≥ 5000 — D&C на GPU (code/gpu_dc.py): толчок 0,4 местного шага, FIRE в подкруге, критерий Метрополиса при T = 0,05, затем общая доводка Ньютоном–CG лучшего состояния.

Что взято из статей, а что выбрано нами

Статьи не указывают часть параметров. Всё, что мы выбирали сами, перечислено здесь; эти значения одинаковы во всех экспериментах.

Параметр	В статье	У нас
σ	1 − 1/(2√N)	так же
N_b	формула (7) Amore–Zarate	ближайшее целое (иногда ±1)
старт	случайный по плотности	так же; N_b граничных равномерно по углу
TN: допуски	не указаны	SciPy TNC, до остановки по изменению f
BH: шаг, T	не указаны	толчок 0,5 шага в круге 3 шагов, T = 0,01
D&C: амплитуда толчка	«меньше у границы»	0,3 локального шага (шаг ∝ ρ^−1/2)
D&C: порог погони	не указан	0,5 локального шага, не более 10 раз подряд
D&C: радиус	0,1 → ~1	линейно 0,1 → 1 за 3100 итераций
QMD: график σ	«постепенно до 1»	линейно за первые 2/3 шагов
QMD: старт	случайный	случайный + короткая релаксация FIRE (без неё при N ≳ 200 схема разлетается)

Проверки кода

Градиенты энергии и в переменных статьи совпадают с конечными разностями (отн. ошибка ≤ 5·10⁻⁸); разложение E = E_AA + E_AB + E_BB выполняется точно.
Гессиан для метода Ньютона проверен конечными разностями (8·10⁻⁹).
Кольцевая модель воспроизводит все 12 опубликованных разбиений и энергий (N = 11…395) до 5 знаков.
Энергии Amore–Zarate из их координат воспроизводятся до последнего опубликованного знака.
Скорость ядра: 0,58 нс на пару зарядов на одно ядро M4 (энергия + градиент).
GPU-ядро (CuPy, двойная точность, A100): энергия совпадает с точной суммой до 1,5·10⁻¹⁶ (отн.), силы на подкруг — с прямым счётом на CPU до 10⁻¹⁵; итоговая энергия каждого прогона пересчитывается заново и сверяется с независимым счётом numpy + math.fsum.

Код: code/thomsondisk (ядро kernels.c; поиск amore.py, md.py, pdc.py, shells.py, newton.py). Каждый расчёт — JSON-спецификация в runs/specs; сводки — results/.